第十五章 数学实验室（一）——数字游戏

“数学实验室”听起来有些奇怪，学校里有物理、化学及生物等实验室，但从来没听说有数学实验室，它在哪里？里面有什么？如何去做一个数学实验？这正是在接下来的两章里，我想展示给读者的内容，如何利用编程来解决数学问题，或学习数学知识。

本章中的几个例子，需要读者具备小学数学基础，其实，这里解决的不是数学问题，而是如何把数学问题转变为程序问题，并使用程序语言来解决问题。

数学这门课贯穿了我们整个的学生时代，从小学、初中、高中直到大学，没有哪门课与我们相伴如此之久，因此，数学的烙印深深地刻在我们心里。还记得班里那些数学拔尖的同学吗？当你还没有读懂题目的时候，他们已经把题解出来了，让你的自信心备受打击！在数学这门课中，解题思路之独特（或者说怪异）、解题速度之迅捷，一直备受推崇。然而，凡事都有两个方面，当我们试图将数学问题转化为程序问题时，这种独特和迅捷却成为一种障碍，相反，我们需要让自己的思路慢下来，再慢下来，同时，还要让自己“笨”一点，再“笨”一点。

慢下来，从另一种角度理解，就是把时间放大，好像把“时间”放在一台显微镜下。假设我们平时用1秒钟为时间间隔，来观察事物的变化，又假设“时间”显微镜的放大倍数是1000倍，那么我们将观察到1毫秒的时间间隔内事物发生的变化，这是人类探索“微观”世界的方法，也恰恰是利用计算机解决问题时，所应采用的方法。

所谓“笨”一点，就是让我们退回到蒙昧状态，退回到学龄前，忘记自己学过的数学知识、解题方法与技巧，以最本初的心去寻找问题的答案。

下面我们将以“鸡兔同笼”问题为例，来说明如何将数学问题转化为程序问题，并理解“慢”与“笨”对于我们解决类似问题的意义。

第一节 鸡兔同笼解法之一——手动枚举法

鸡兔同笼问题是一个尽人皆知的经典数学题，题目来自南北朝时期的数学著作《孙子算经》，内容如下： 今有雉兔同笼， 上有三十五头， 下有九十四足， 问雉兔各几何？

“雉”读作zhì，是一种野生的鸟，长着漂亮的羽毛和长长的尾羽，能短距离飞行，俗称野鸡，在北方的冬天，是人们捕猎的目标之一。不过对于我们来说，它最重要的特性是长着两只脚！

你可以列出等式或方程，来解决这一问题，这些方法要么属于算术方法，要么属于代数方法，不过我们这里要给出的是实验的方法，看看我们如何来做这个实验。为了完成这一实验,需要创建一个App Inventor项目,名称为“鸡兔同笼”，下面介绍项目的开发过程。

一、功能说明

• 手机屏幕上显示鸡兔同笼的题目，初始状态下兔数为35，鸡数为0，头数之和为35，足数之和为140，如图15- 1所示；
• 屏幕中部左侧的按钮显示兔子图片，点击该按钮可以增加兔数；右侧的按钮显示鸡的图片，点击该按钮可以增加鸡数；鸡数与兔数之和始终为35；
• 每次点击按钮改变鸡数或兔数时，在屏幕下方显示鸡兔的足数之和；
• 如果足数之和恰好等于题目中给定的数量（94），则播放一段声音，提示用户实验成功。

图15-1 鸡兔同笼项目的用户界面

二、用户界面设计

1、组件设置

如图15- 2所示，用户界面的上方用一个图片组件来显示题目内容（图片制作在Photoshop中完成），屏幕中部是操作区，用户点击鸡或兔的图片（设置了背景图片的按钮组件），可以增加鸡或兔的数量；用数字滑动条的滑块位置来表示鸡、兔之间数量的比例，同时用标签来显示鸡兔的数量以及鸡兔的足数之和。界面组件的详细设置见表15- 1。

图15-2 解决鸡兔同笼问题的数学实验室——用户界面设计

表15- 1 鸡兔同笼项目中组件的命名及属性设置

2、素材规格

如图15- 3所示，准备好素材文件（注意：文件名必须以英文字母、数字及下划线组成），将文件上传到项目中，并设置相关组件的属性（见表15- 1）。

图15-3 项目中素材文件的规格

三、页面逻辑

1. 屏幕初始化时，让兔数为35，鸡数为0，并计算该数量比例下鸡兔的足数之和；
2. 数字滑动条的滑块两侧颜色不同，颜色条的长度表示数量的多少，左侧为蓝色，表示兔的数量，右侧为红色，表示鸡的数量；屏幕初始化时，滑块位于最右方，整个滑动条均为蓝色（兔数=35）；
3. 点击兔增加按钮时，兔的数量加1，鸡的数量减1；点击鸡增加按钮时，鸡的数量加1，兔的数量减1；当兔数=35时，兔增加按钮不可用，当鸡数=35时，鸡增加按钮不可用，除此之外，两个按钮同时可用；
4. 每次点击兔增加按钮或鸡增加按钮时，都要计算当前鸡兔的足数之和，并用标签显示出来；
5. 当足数之和=94时，让音效播放器播放音效。

四、编写代码

1、创建过程——有返回值过程

如图15- 4所示，根据标签上显示的兔数及鸡数，计算兔与鸡的足数之和。

图15-4 过程——足数之和

2、创建过程——无返回值过程

如图15- 5所示，显示足数过程分别显示了足数的计算方法以及计算结果。

图15-5 过程——显示足数

3、屏幕初始化程序

根据页面逻辑的描述，屏幕初始化时，设兔数=35，由此计算出鸡数，进而求出鸡兔的足数之和，并显示在屏幕上，代码如图15- 6所示。

图15-6 屏幕初始化程序

4、鸡、兔增加程序

当点击“鸡增加按钮”时，鸡数+1，兔数-1，首先更新鸡数、兔数标签，再更新数字滑动条的滑块位置（向左移动以增加红色条的长度），并显示鸡兔的足数之和；对足数之和进行判断：当足数之和=94时，让音效播放器播放声音，通知用户问题的答案已经找到（也可以用文字的方式通知用户）；最后判断鸡数是否为35，来决定是否禁用鸡增加按钮，代码如图15- 7所示。

图15-7 鸡增加按钮的点击程序

同样的思路编写兔增加按钮的点击程序，代码如图15- 8所示。

图15-8 兔增加按钮的点击程序

五、测试

如图15- 9所示，左一图是屏幕初始化时的鸡兔数量及足数之和，此时兔增加按钮不可用；点击鸡增加按钮，兔数-1，鸡数+1，足数之和也随之改变；当鸡数=23时，听到了音效声，此时足数之和为94，正是题目中给出的数字；继续点击鸡增加按钮，直到鸡数=35，此时鸡增加按钮不可用。

图15-9 测试结果

六、讨论

所谓手动枚举法，就是手工增加鸡或兔的数量，遍历所有可能的鸡数与兔数，并求出每一种数量下鸡兔的足数之和，从而找到足数之和为94时鸡兔的数量。这是不是一种很“笨”而且很“慢”的方法呢？坦白地讲，这是我第一次遇到这个问题时的想法，但我羞于在课堂上把这个想法讲出来，因为它不够机智，我担心自己被贴上“愚钝”的标签。多年之后，当我试图在讲台上用鸡兔同笼这个例子讲解编程方法时，当初这个“愚钝”的想法却帮助我顺利地找到了答案。

之所以这种“笨”办法能够奏效，是因为计算机本身恰好也足够的“笨”。计算机的优势在于做简单的事情，并不断重复。由于它的运算速度非常快，对于1GHz的CPU来说，每秒钟的运算次数为109次，因此对于像鸡兔同笼这样的问题，每改变一次鸡兔数量比例，计算一次足数之和，最多只有35次运算，相对于计算机巨大的运算能力来说，这点小小的运算量简直不值一提。

在手动枚举法中，我们通过点击按钮手工增加鸡或兔的数量，每次的增量为1，这件事恰好也是编程语言中循环语句最擅长做的事情，因此不妨将这个单调重复的任务交给机器去完成，这正是我们下一节的目标。

第二节 鸡兔同笼解法之二——程序枚举法

我们在上一节的基础上，对程序稍加修改，就可以很容易地获得问题的答案。在项目中添加一个加速度传感器，利用传感器的摇晃事件，来触发求解运算。为了提示用户操作方法，先修改屏幕初始化程序，代码如图15- 10所示。

图15-10 修改屏幕初始化程序，提示用户应用的操作方法

然后，在加速度传感器的摇晃事件处理程序中，利用循环语句为问题求解，代码如图15- 11所示。当足数之和=94时，利用“说明”标签来显示求解的结果，并播放音效提示用户，测试结果如图15- 12所示。

图15-11 用循环语句替代手工改变鸡的数量

图15-12 测试结果——用循环语句求解

鸡兔同笼问题还可以转变为一个出题的应用，例如，提供两个文本输入框，分别输入鸡数与兔数，程序将自动算出头数与足数之和，出题人可以隐藏鸡兔的数量，只给出头数及足数之和，这样可以生成任意多道不同的题目。

此外，也可以任意给定头数及足数之和，来判断问题是否可解。

这个例子可以帮助我们理解计算机的工作方式，以及用程序来解决实际问题的思路，熟悉循环语句的运行过程及使用方法。读者不妨找来其他类型的应用题，尝试用程序来解决它。

第三节 素数问题求解

一、N是否为素数

素数也称为质数，是只能被1及其自身整除的自然数。对于一个给定的自然数N，如何判断它是不是素数呢？有了之前解决鸡兔同笼问题的“愚钝”思路，这个问题似乎并不难：利用循环语句进行遍历，循环变量的取值从2到N-1，如果N能够被其中的任何一个循环变量整除，则N就不是素数。那么如何判断“整除”呢？所谓“整除”就两个数相除的余数为零，在App Inventor中有一个求余数的块可供使用。

创建一个新项目“素数求解”，用户界面很简单，一个文本输入框，一个按钮和一个标签。如图15- 13所示。设Screen1的标题为“素数求解”，勾选文本输入框的“仅限数字”属性。

图15-13 新建一个项目——素数求解

用户在文本输入框中输入一个数字，并点击按钮1；在按钮1的点击程序中，对问题进行求解，并将结果显示在标签中。代码如图15- 14所示，测试结果如图15- 15所示。

图15-14 判断一个数是否为素数

图15-15 测试——对于输入的任意自然数，判断其是否为素数

二、算法的改进

你会发现，随着数字的变大，运算所需的时间变长。被判断的数字每增加1，将增加一次循环，也就是增加一次求余数运算，并增加一次余数是否为零的判断，判断数字33133时共进行了33131次求余运算，外加33131次余数是否为零的判断，因此，等了好一会儿结果才显示出来。

是否可以通过改进算法，来提高计算速度呢？答案是肯定的。这时候我们需要动用人类的智慧，来帮助电脑提高工作效率。

与素数相对应的是合数，合数可以被分解为若干个素数的乘积，这些素数称为这个合数的质因数（素因数）。我们来观察一下60以内的合数，看看它们的质因数有什么特点，如表15- 2所示。

表15- 2 60以内的合数以及它们的质因数

我们来比较某个合数N的最小质因数与N的平方根（√N）之间的关系。我们发现所有合数的最小质因数均小于或等于它的平方根，这条结论也可以换一种说法：对于任意给定的合数N，设P=√N，一定存在一个质数M1，它是N的质因数，且M1<P。

如果这个结论成立，那么我们在判断一个数是否为素数的程序中，循环变量的上限就可以用√N代替N-1，这样就可以减少循环次数。以33133为例，√33131 = 182（就低取整），按照上述结论，循环变量的上限为182，循环次数将减少33131-182=32948次，这将大大缩短计算时间。我们将直接使用这一结论，并在附录中给出该结论的简短证明。下面改造图15- 14中的按钮点击程序，创建一个有返回值的过程——N是素数，并在按钮点击程序中调用该过程。修改后的代码如图15- 16所示。

图15-16 将循环变量上限替换为N的平方根取整

有兴趣的读者可以利用计时器组件，粗略地测量出这两种算法的运算耗时，并进行比较。

三、求N以内的素数

利用“N是素数”过程，可以求N以内的所有素数。创建有返回值过程“N以内的素数”，在设计视图中添加一个按钮组件（按钮2），并在按钮2的点击程序中调用该过程，代码如图15- 17所示，测试结果如图15- 18所示（750以内的全部素数）。

图15-17 求N以内的全部素数

图15-18 求N以内素数的测试结果

四、改造N是素数过程

声明一个全局变量——N以内素数，将“N以内的素数”过程的返回值保存到该全局变量中，这个运算结果可以帮助我们提高判断素数程序的运行效率，代码如图15- 19所示。

图15-19 利用已经获得的N以内素数列表，改进对素数的判断程序

图中“N是素数_简化”过程中，利用针对列表的循环，对全局变量“N以内素数”列表进行遍历，以便进一步减少循环次数。仍以33133为例，从图15- 18中可知，182以内共有42个素数，因此，实际上程序仅对42个素数进行了求余数运算。

上述程序中还有进一步改进的空间，例如，针对N以内素数的循环，如果能改为针对182以内素数的循环，则循环次数还可以降低，或者，将针对列表的循环改为“满足条件循环”，也可以减少循环次数。

以上我们讨论了对素数的判断，以及如何求N以内的素数，下一节我们将在此基础上讨论素数的应用——如何求两个自然数的最大公约数及最小公倍数。

第四节 求M与N的最大公约数

一、概念陈述

1. 约数：有整数P、N，如果N能被P整除，则称P是N的约数。例如100能被25整除，则25称为100的约数；100的约数包括2、4、5、10、20、25及50，共7个。
2. 公约数：有整数P、M、N，如果M、N都能被P整除，则称P是M、N的公约数。例如，75的约数为：3、5及25，则100与75的公约数为5及25。
3. 最大公约数：整数M、N的所有公约数中，最大的公约数称为最大公约数。例如，75与100的最大公约数为25。

二、概念的数学表示

1. 约数：针对整数N，如果仅能被1及其自身整除，则N为素数，否则，N为合数。对于合数N，可以分解为若干个质因数的乘积。例如100=2x25x5，150=235x5，300=2x235x5，等等。注意，这里用“x”表示相同质因数之间的乘法，用“”表示不同质因数之间的乘法，这两种表示方法只是符号不同，它们的作用完全相同，下同。
2. 公约数：整数M、N的约数中共同的部分。例如100与150的公约数为2、5及5x5，100与300的公约数为2、2x2、5及5x5，150与300的公约数为2、3、5及5x5。
3. 最大公约数：整数M、N的公约数中的最大值。例如100与150的最大公约数是50（25x5）， 100与300的最大公约数为100（2x25x5），150与300的最大公约数为150（235x5）。

从上述最大公约数的表示方法中不难发现，M、N的最大公约数等于它们质因数乘积中共有的部分。为了更清楚地表达这一结果，我们需要借用乘方的概念（小学的读者们可以请求家长的帮助）：一个合数M可以分解为若干个质因数乘方的乘积，其中乘方的底数为质因数，乘方的指数为该质因数在分解结果中的个数。例如100=2252，150=2352，300=223*52。如果想求得两个数的最大公约数，首先需要找到两者的分解结果中的共同质因数，作为乘方的底数，设它们为P1、P2、…Pn；然后查看分解结果中P1、P2…Pn的个数，并找到各自的最小个数m1、m2、…mn，作为乘方的指数，最后，最大公约数可以表示为：

P=P1m1*P2m2*…*Pnmn （读作P1的m1次方乘以P2的m2次方乘以…乘以Pn的mn次方）

下面举例说明上述表示法，仍然以150与300为例，它们的分解结果中均包含质因数2、3、5，以质因数2为例，在150中包含1个2（2的1次方），在300中包含2个2（2的2次方），则最大公约数中保留1个2（2的1次方），因此它们的最大公约数为213152。

有了上述结论，我们可以用代码来表示两个整数的质因数，并求得它们的最大公约数。

三、概念的程序表示

(1) 求约数：将整数N分解为质因数乘方的乘积，并将乘方的底数与指数保存到列表中。以150与300为例，将它们的分解结果保存在列表中，如图15- 20所示。

图15-20 合数M与N的列表表示

图中的列表为二级列表，一级列表的长度等于质因数的个数，二级列表的长度为2，其中第一项为质因数——乘方的底数，第二项为该质因数的个数——乘方的指数。

(2) 求最大公约数 先来编写一个有返回值的过程——最大公约数，暂时不考虑过程的通用性，就以图15- 20中的数据为例，来求得150与300的最大公约数，代码如图15- 21所示。

图15-21 求最大公约数的过程

代码中包含两个针对列表的循环语句，第一个循环语句对“N的质因数”列表进行遍历，其中的循环变量“项”为列表，包含2个列表项，分别为质因数（底数）及质因数的个数（指数）。在循环开始时，首先求得底数及指数值，利用底数作为“键”，在键值对列表“M的质因数”中进行查找；如果“M的质因数”列表中包含被查找的“键”，则返回值为该底数的个数，否则返回“-1”；无论返回值是否为-1，都将返回结果保存到局部变量“比较指数”中；如果“比较指数”不等于-1，则将“指数”与“比较指数”中值较小的设定为最终的“指数”值，并将这一组“底数”与“指数”添加到局部变量“最大公约数列表”中。

当完成对“N的质因数”列表的遍历后，执行第二个针对列表的循环语句——计算最大公约数的值，最后将最大公约数的值返回给过程的调用者。

为了测试上述代码的执行结果，我们在屏幕初始化程序中，调用“最大公约数”过程，并利用屏幕的标题属性来显示程序的执行结果，代码如图15- 22所示，测试结果如图15- 23所示。

图15-22 利用屏幕的标题来显示程序的运行结果

图15-23 求最大公约数的测试结果

以上我们仅以150及300两个整数为例，演示了求两个整数最大公约数的方法：首先演示了数学方法：将两个整数分解为若干个质因数乘方的乘积，并从分解结果中提取两者共有的部分，作为两个整数的最大公约数；其次，在App Inventor中，利用列表数据保存两个整数的分解结果，并利用针对列表的循环语句，查找分解结果中共有的部分，最终计算出两个整数的最大公约数，并显示在屏幕的标题中。

上述程序只是针对两个具体的数字，而且已经手工将它们分解为质因数乘方的乘积，讨论的内容并没有涉及到如何将整数分解为质因数乘方之积，并保存到列表中。下面我们创建一个项目——最大公约数与最小公倍数，并添加简单的组件，来实现完整的功能——求两个任意整数的最大公约数。

四、求任意两个整数的最大公约数

1、用户界面设计

对于数学类的应用，我们强调的是解决问题的思路，以及将数学问题转化为程序问题的方法，因此对于用户界面设计，只求能够显示运算结果。如图15- 24所示，在新建的项目中，添加两个文本输入框，分别命名为M及N，勾选其“仅限数字”属性；添加一个水平布局组件，将两个按钮添加到水平布局组件中，分别命名为“公约数按钮”及“公倍数按钮”；添加一个标签，命名为“结果”，用于显示程序的运行结果。

图15-24 求最大公约数与最小公倍数的用户界面

2、编写过程——分解整数

在上一节我们创建了两个有返回值的过程——“N是素数”及“N以内的素数”，本节将利用这些结果来分解整数，将任意整数分解为若干质因数乘方的乘积。

(1) 打开“素数求解”项目，将上述两个过程及全局变量“N以内素数”放置到代码块背包中，回到“最大公约数与最小公倍数”项目中，将上述代码块从背包中提取出来；

(2) 在屏幕初始化程序中，调用“N以内的素数”过程，并将过程返回值保存到全局变量“N以内素数”中，代码及测试结果如图15- 25所示；

图15-25 在屏幕初始化时，求500以内的素数

(3) 创建一个有返回值过程——素数实用集。对于任意整数N，它的最大质因数不可能大于N，因此，当我们将N分解为若干质因数乘方之积时，只需要针对那些小于等于N的素数进行筛选。为此，我们对全局变量“N以内素数”进行遍历，以便获得满足需要的最小素数集合，具体代码如图15- 26所示。

图15-26 过程——素数实用集

(4) 创建一个有返回值过程——质因数。对于任意给定的整数N（被除数），判断某个素数P（除数）是否为它的质因数（P能整除N），如果是，则求出整数N中包含的P的个数（N能够被P整除的次数）。该过程的返回值为列表，包含两个列表项，第一个列表项为素数P（除数），第二个列表项为N被P整除的次数，具体代码如图15- 27所示。

图15-27 过程——质因数

(5) 创建一个有返回值过程——质因数列表。对于任意给定的整数N，遍历它的素数实用集列表，通过调用“质因数”过程，可以筛选出它的全部质因数（包括质因数本身以及被整除的次数）。该过程的返回值为二级列表，列表结构与图15- 20中“N的质因数”相同，具体代码如图15- 28所示。

图15-28 过程——质因数列表

利用公约数按钮的点击程序对上述过程进行测试，代码如图15- 29所示。测试结果如图15- 30所示。

图15-29 在结果标签中显示质因数列表

图15-30 测试——求整数1920的质因数列表

(6) 改造过程——最大公约数。在图15- 21的“最大公约数”过程里，我们利用两个全局变量“M的质因数”与“N的质因数”，求得了150与300的最大公约数，现在我们要对该过程进行改造，将全局变量替换为过程的参数“M质因数列表”与“N质因数列表”，以便该过程可以求取任意两个质因数列表的最大公约数。修改后的代码如图15- 31所示。

图15-31 改造之后的最大公约数过程

(7) 公约数按钮点击程序——用“结果”标签显示“最大公约数”过程的返回值。在“最大公约数”过程里两次调用“质因数列表”过程，分别将用户输入的两个整数作为参数，求取两个整数的质因数列表，并最终求得两个整数的最大公约数，代码如图15- 32所示。

图15-32 在公约数按钮的点击程序中调用“最大公约数”过程

(8) 测试——在用户界面上输入不同的整数，求取它们的最大公约数，测试结果如图15- 33所示。建议读者自己用纸笔计算一下图中的题目，来验证一个图中的结论是否正确。

图15-33 测试——求任意两个整数的最大公约数

以上我们实现了求取两个整数最大公约数的目标，在这个过程中，有两个关键步骤：

• 将实际问题转化为数学问题——用数学语言描述问题的本质：将整数分解为质因数乘方之积，并明确两个整数的最大公约数就是它们分解结果中共有的部分；
• 将数学问题转化为程序问题——用列表表示对整数的分解结果，利用循环语句筛选出分解结果中共有的部分， 并计算出最终的结果。

下面我们来解决本章的最后一个问题——求两个整数的最小公倍数。

第五节 求M与N的最小公倍数

一、问题的数学表示

有了前面求最大公约数的经验，求最小公倍数的问题变得简单了。解决问题的起点是对两个整数进行质因数分解的结果。仍然以100及150为例，100=2252，150=2352，最大公约数是这两个结果中共有的部分（252=50），而最小公倍数则是两个结果中能够包含两个结果的最小集合（22352=300），我们把这个最小集合称为“结果集”。这里面有两重含义：

1. 结果集中包含两个整数的全部质因数，例如，100与150的结果集中包含2、3、5三个质因数；
2. 每个质因数乘方的指数取两个分解结果中的最大值，例如100与150中都包含质因数2，100中包含2的2次方，150中包含2的1次方，则结果集中保留较大者，即2的2次方。

有了上述结论，接下来我们把数学问题转换为程序问题。

二、问题的程序表示

1、合并两个整数的质因数列表

解决问题的起点是两个整数的质因数列表——“质因数列表”过程的返回值。我们创建一个过程——最小公倍数列表，对两个质因数列表进行合并，代码如图15- 34所示。

图15-34 过程——最小公倍数列表

仍然沿用求最大公约数列表的思路，对N的质因数列表进行遍历。对于每一个N的质因数，在M的质因数列表中查找是否存在相同的质因数（底数），如果不存在，则指数M=-1，此时，将正在接受遍历的质因数N添加到公倍数列表中；如果存在，则首先取得“质因数M”在“M的质因数列表”中的索引值，并设指数N为两个指数中的最大值，将底数N与指数N组成的列表添加到公倍数列表中，并将“质因数M”从“M的质因数列表”中删除。当对“N的质因数列表”的遍历完成时，该列表中的全部列表项已经被添加到公倍数列表中，其中有些质因数的指数可能被改写为更大的值（M的质因数列表中对应底数的指数值），而M的质因数列表中的重复项已经被删除干净，剩下的列表项被一次性地追加到公倍数列表中。最后，将公倍数列表返回给调用者。

2、求最小公倍数

对最小公倍数列表进行遍历，求得所有质因数乘方的乘积，代码如图15- 35所示。

图15-35 过程——最小公倍数

3、显示运算结果

在公倍数按钮的点击程序中，调用最小公倍数过程，并将运算结果显示在“结果”标签中，代码如图15- 36所示。

图15-36 显示最小公倍数的运算结果

4、测试

如图15- 37所示，在文本输入框M及N中分别输入不同的数字，“结果”标签中显示了最小公倍数的运算结果。

图15-37 测试——显示最小公倍数的运算结果

第六节 小结

作为“数学实验室”的第一部分，我们对几个常见的数学问题进行了讨论，从简单的鸡兔同笼，到素数求解，再到稍微复杂一些的公约数、公倍数问题。这些内容基本上属于小学数学的范围（乘方除外），大多数人都会用数学方法解决这些问题，但是，如何将简单的数学问题转化为程序问题，却是需要我们从惯性思维中摆脱出来，让自己的思维“慢”一点，并且“笨”一点。

所谓“慢”一点，就是将时间放大，再放大，捕捉自己思考过程中留下的每一丝线索，将它们记录下来。这些思考的线索，就像风中的一丝花香，稍纵即逝，需要安静与专注，才能有所收获。

所谓“笨”一点，就是回归我们的天真状态，忘记那些高级的技巧，以最质朴的方法去面对问题，并解决问题。之所以要“笨”一点，是因为计算机并不像你想象的那样无所不能，相反，它其实比人类“笨”的太多太多，因此，用计算机解决问题，你就要向它“靠拢”，习惯于它的逻辑和方法，只有这样，才能找到解决问题的钥匙。